SOLIDOS
POLÍGONO
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.
Un polígono es la porción de un plano delimitada por al menos 3 segmentos consecutivos no alineados, unidos por sus extremos, que configuran una línea poligonal cerrada.
ELEMENTOS DE UN POLIGONO
ž Lados: Son los segmentos que lo limitan.
ž Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados.
ž Ángulos internos: Son los determinados por dos lados consecutivos.
ž Ángulos externos: Son suplementarios de los ángulos interiores.
ž Diagonales: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos.
CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS
ž SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS:
v REGULARES: si todos sus lados y ángulos son iguales.
v IRREGULARES: si tiene uno o varios lados desiguales.
v EQUILATEROS: si todos sus lados miden lo mismo.
v EQUIÁNGULO: si tienen ángulos iguales.
v ALABEADOS: son polígonos no coplanares, es decir, que tienen lados que no están en el mismo plano.
ž SEGÚN EL NÚMERO DE SUS LADOS:
Nombre | Número |
no existe | 1 |
no existe | 2 |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
15 | |
20 | |
Los demás polígonos se les llama: polígono de ……. Lados. |
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS:
CONVEXOS: si todos los ángulos internos son menores de 180°.
CON CAVO: si tiene un ángulo interno mayor a 180°.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
ž Para polígonos regulares e irregulares de n lados:
v SUMA DE ÁNGULOS INTERNOS: en un polígono de n lados, la suma de ángulos internos se calcula como:
Σ≮i = 180°(n - 2)
v SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERNOS EN UN POLÍGONO: en todo polígono convexo, la suma de los ángulos externos es siempre 360°, entonces:
Σ≮e = 360°
v NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES: en todo polígono de n lados, el número total de diagonales que se puede trazar es:
D = n(n - 3) /2
v NÚMERO DE DIAGONALES DESDE UN VÉRTICE: la cantidad de diagonales que se puede trazar desde un vértice un polígono de n lados es:
D = n - 3
ž Para polígonos regulares de n lados:
v ÁNGULO INTERIOR DE UN POLÍGONO: el ángulo interior de un polígono regular de n lados es :
m Ð i = 180°(n – 2)/n
v ÁNGULO EXTERNO DE UN POLÍGONO REGULAR: en un polígono regular de n lados, el ángulo se calcula como:
m Ð e = 360° /n
v ÁNGULO CENTRAL DE UN POLÍGONO REGULAR: el ángulo central en un polígono regular, se halla de la misma manera similar a la del ángulo exterior:
m Ð c = 360° /n
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EL CUBO
Hexaedro regular o cubo | |
Grupo | |
Número de caras | 6 |
Polígonos que forman las caras | |
Número de aristas | 12 |
Número de vértices | 8 |
Caras concurrentes en cada vértice | 3 |
Vértices contenidos en cada cara | 4 |
Octaédrico (Oh) | |
Un cubo, o hexaedro regular
Es un poliedro de seis caras
Cuadrados congruentes.
Un cubo, además de ser un
Hexaedro, puede ser
Clasificado también
Como paralelepípedo,
Recto y rectángulo, pues
Todas sus caras son de
Cuatro lados y paralelas dos
A dos, e incluso como un
Prisma de base cuadrangular
Y altura equivalente al lado
De la base.
AREA DE UN CUBO
VOLUMEN DE UN CUBO:
Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres
Aplicaciones y ejemplos
El cubo de Rubik (o cubo mágico, como se lo conoce en algunos países) es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974. [1] Se trata de un conocido rompecabezas cuyas caras están divididas en cuadros de un mismo color sólido cada una, los cuales se pueden mover. El objetivo del juego consiste en desarmar la configuración inicial en orden y volverla a armar.
PIRAMIDE
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y por caras, que son triángulos y coinciden en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado en ocasiones vértice de la pirámide, aunque la pirámide tiene más vértices.
Una cara es un polígono cualquiera. La llamamos BASE
Las demás caras son, todas ellas, triángulos que tienen un vértice común. Las llamamos CARAS LATERALES.
ALTURA de una pirámide es la distancia del vértice a la base.
La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.
ELEMENTOS DE UNA PIRAMIDE
CLASES DE PIRAMIDES
* Pirámide regular - Es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.
* Pirámide irregular - Es aquella que tiene de base un polígono irregular.
* Pirámide convexa - Es aquella cuya base es un polígono convexo.
* Pirámide cóncava - Es aquella cuya base es un polígono cóncavo.
* Pirámide recta - Es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.
* Pirámide oblicua - Es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
*Pirámide cuadrangular - aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.
Observación:
-Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…
Área y volumen de una pirámide
1. Área Lateral: SL = suma de las áreas de las caras laterales.
2. Área Total : ST = área lateral + área de la base.
3. Volumen : El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura. V = 1/3.Sb.h
El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:
y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:
Tronco de pirámide:
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases paralelas y tienen superficies B y B*; y cuya altura es H, se obtiene mediante la fórmula siguiente:
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PRISMA
En Geometría, un prisma es un sólido terminado por dos polígonos paralelos e iguales que se denominan bases, y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases, que se denominan lados.
ELEMENTOS
• Se llaman aristas laterales a las que no pertenecen a los polígonos de base
• Se llaman prismas rectos a aquellos cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases (figuras 1 y 3). De no ser así, se le llama prisma oblicuo (figura 2).
• La altura del prisma es la distancia entre las bases (ver figura 2). Por tanto si el prisma es recto, sus aristas laterales corresponden a la altura.
• Según el número de caras no basales, el prisma recibe el nombre de: triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
CLASIFICACION
PRISMA TRIANGULAR
PRISMA CUADRANGULAR
PRISMA PENTAGONAL
PRISMA HEXAGONAL
PRISMA OCTAGONAL
Área:
Volumen:
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CILINDRO
Un cilindro es una figura geométrica limitada por una superficie cilíndrica cerrada lateral y dos planos que la cortan en sus bases. Como cuerpo de revolución, se obtiene mediante el giro de una superficie rectangular alrededor de uno de sus lados.
El eje del cilindro es la recta que pasa por los centros geométricos de las bases; es paralelo a la generatriz.
El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
ELEMENTOS DELCILINDRO
Eje.-Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.
Generatriz.-Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.
Bases.-Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.
Altura.-Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz.
Además, las dos bases y la superficie lateral.
CLASIFICACION
El cilindro es un cuerpo geométrico redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas.
Puede ser:
- cilindro recto: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases,
- cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases,
- cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución.
Área de la superficie cilíndrica
El área de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral más
La superficie de las dos bases
Volumen del cilindro
El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro .
Siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.
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EL CONO
Un cono, en geometría elemental, es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersectan a una circunferencia no coplanaria.
Clasificación: Cono recto y cono oblicuo.
Se denominan:
- cono recto, si el vértice equidista de la base circular;
- cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base;
- cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.
La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.
La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.
Área de la superficie cónica
El área de la superficie del cono recto es:
Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.
La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triangulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;
Su longitud es: .
Volumen de un cono
El volumen de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:
.
TRONCO DE CONO
El tronco de cono o cono truncado es un volumen de revolución generado por un trapecio rectángulo al tomar como eje de giro el lado perpendicular a las bases.
Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje. Queda determinado por los radios de las bases, R y r, la altura, h, y la generatriz, g, entre las cuales se da la siguiente relación:
El área lateral de un tronco de cono se puede hallar resolviendo la siguiente ecuación:
El área de un tronco de cono se puede hallar mediante la fórmula:
El volumen de un tronco de cono se puede hallar utilizando la siguiente fórmula:
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LA ESFERA
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro.
Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.
ELEMENTOS
• Radio: distancia desde un punto cualquiera de la superficie esférica al centro
• Centro: mitad del diámetro del semicírculo generador.
• Diámetro: distancia que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro. Equivale a dos radios.
• Eje de giro: diámetro del semicírculo generador de la esfera. También se denomina eje de rotación.
• Polos: extremos del eje de giro.
• Superficie esférica: superficie que limita la esfera.
• Plano secante a la esfera: plano que corta a dicha esfera.
• Plano diametral: plano secante que pasa por el centro de la esfera.
• Círculo máximo: línea de intersección de la superficie esférica con un plano diametral. Divide a la esfera en dos hemisferios o semiesferas.
• Hemisferio: semiesfera.
• Meridiano: círculo máximo que pasa por los polos.
• Paralelos: círculos perpendiculares al eje de giro.
• Ecuador: círculo perpendicular al eje de giro que pasa por el centro.
• Casquete esférico: cada una de las superficies esféricas que resultan de trazar un plano secante a una esfera.
*Área y volumen
El área de una superficie esférica de radio r, es:
El volumen de una esfera de radio r, es: